Cholesky-felbontás

1. Sablon:Humatek A Cholesky-dekompozíció egy numerikus módszer, amelyet egy pozitív definit mátrix alsó háromszög mátrix és annak transzponáltja szorzataként való faktorizálására használnak. Konkrétan, ha $A$ egy szimmetrikus pozitív definit mátrix, akkor a Cholesky-dekompozíció segítségével a következőképpen írhatjuk fel:

$$A=L{L}^T$$

ahol $L$ egy alsó háromszög mátrix, és $L^T$ annak transzponáltja.

A Cholesky-dekompozíció jellemzői 1. Egyediség: A dekompozíció egyedi, ha $L$ átlóelemei pozitívak. 2. Hatékonyság: Hatékonyabb más módszereknél lineáris egyenletrendszerek megoldásához, különösen, ha a mátrix nagy és ritka.

Algoritmus A Cholesky-dekompozíció kiszámításához egy $A$ mátrix esetében:

1. Inicializálás: $L$ mátrixot nullákkal teli mátrixként indítjuk, amely azonos méretű, mint $A$. 2. Minden egyes sor $i$-ra: - Számítsuk ki az átlóelemet: $$L_{ii}=\sqrt{A_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}{L}_{ik}^2}$$ - Minden $j$ oszlopra az átló alatt: $$L_{ji}=\frac{1}{L_{ii}}(A_{ji}-\sum _{k=1}^{i-1}{L}_{jk}{L}_{ik})$$

Példa Tekintsük a következő mátrixot:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 12& -16\\ 12& 37& -43\\ -16& -43& 98\end{array}\right)$$

Az $L$ kiszámításához:

1. Számítsuk ki $L_{11}$: $$L_{11}=\sqrt{4}=2$$

2. Számítsuk ki $L_{21}$ és $L_{31}$: $$L_{21}=\frac{12}{2}=6,L_{31}=\frac{-16}{2}=-8$$

3. Számítsuk ki $L_{22}$: $$L_{22}=\sqrt{37-6^2}=\sqrt{1}=1$$

4. Számítsuk ki $L_{32}$: $$L_{32}=\frac{-43-(-8)(6)}{1}=-1$$

5. Számítsuk ki $L_{33}$: $$L_{33}=\sqrt{98-(-8{)}^2-(-1{)}^2}=\sqrt{30}$$

Így az alsó háromszög mátrix:

$$L=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 6& 1& 0\\ -8& -1& \sqrt{30}\end{array}\right)$$

Alkalmazások A Cholesky-dekompozíciót széles körben használják numerikus analízisben, különösen lineáris egyenletrendszerek, optimalizálási problémák és Monte Carlo szimulációk megoldásához. Sablon:Hunl