Euler-féle differenciálegyenlet

1. Sablon:Humatek Az Euler-féle differenciálegyenlet (vagy Euler-Cauchy differenciálegyenlet) egy speciális típusú lineáris differenciálegyenlet, amely az alábbi általános formában írható fel:

$$x^n{y}^{(n)}(x)+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{1}x{y}^{\prime }(x)+a_{0}y(x)=0,$$

ahol $y^{(n)}(x)$ az $n$-edik deriváltat jelenti, és az $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$ valós vagy komplex együtthatók.

Az ilyen típusú differenciálegyenletek megoldása általában a következő módon történik:

1. Formaválasztás: Tegyük fel, hogy a megoldás alakja $y(x)=x^r$, ahol $r$ egy valós vagy komplex szám. 2. Behelyettesítés: Az $y(x)=x^r$ alakot helyettesítjük be az eredeti egyenletbe. 3. Karakterisztikus egyenlet: A behelyettesítés után egy ún. karakterisztikus egyenletet kapunk $r$-re, amely polinomegyenlet. 4. Megoldás: A karakterisztikus egyenlet gyökei határozzák meg az általános megoldást.

Például egy másodrendű Euler-féle differenciálegyenlet alakja:

$$x^2{y}^{″}(x)+ax{y}^{\prime }(x)+by(x)=0,$$

ahol az általános megoldás a karakterisztikus egyenlet gyökeitől függően három esetet tartalmaz:

- Két különböző valós gyök ($r_1,r_2$): $y(x)=C_1{x}^{r_1}+C_2{x}^{r_2}$. - Kettős valós gyök ($r$): $y(x)=(C_1+C_2\ln x)x^r$. - Komplex gyökök ($r=\alpha \pm i\beta$): $y(x)=x^{\alpha }(C_1\cos (\beta \ln x)+C_2\sin (\beta \ln x))$.

Ilyen differenciálegyenletek gyakran előfordulnak fizikai problémákban, különösen olyan rendszerekben, amelyekben az önhasonlóság vagy a skálafüggés fontos szerepet játszik. Sablon:Hunl