Cholesky-Banachiewicz-módszer

1. Sablon:Humatek A Cholesky-Banachiewicz-módszer a Cholesky-felbontás egyik konkrét változata, amely egy pozitív definit, szimmetrikus mátrixot a saját transzponáltjával való szorzatként bont fel. Ez a módszer egy alsó háromszög mátrixot ($L$) és annak transzponáltját ($L^T$) keresi úgy, hogy

$$A=L{L}^T,$$

ahol $A$ egy $n\times n$ méretű pozitív definit mátrix.

A Cholesky-Banachiewicz-módszer lényegében egy iteratív eljárás, amely során az alsó háromszög mátrix elemeit soronként, illetve oszloponként számítják ki. A módszer követi a következő lépéseket:

1. Tegyük fel, hogy az $A$ mátrix egy elemeit $a_{ij}$-vel jelöljük, és az alsó háromszög mátrix elemeit $l_{ij}$-vel. Az eljárás során az alsó háromszög mátrix elemeit kell meghatározni, ahol $l_{ij}=0$, ha $i<j$. 2. A módszer $i$-edik sorában az alábbi képletek használatával számítja ki a megfelelő $l_{ij}$ elemeket: - $l_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}{l}_{ik}^2}$ (főátlóbeli elemek kiszámítása) - $l_{ij}=\frac{1}{l_{jj}}(a_{ij}-{\sum }_{k=1}^{j-1}{l}_{ik}{l}_{jk})$ (ha $i>j$)

Ez a módszer nagyon hatékony, mivel csak a mátrix alsó háromszögének elemeit kell kiszámítani, ami kevesebb számítási lépést jelent a teljes mátrix esetén. A Cholesky-felbontás különösen hasznos a lineáris egyenletrendszerek megoldásában, ha a mátrix szimmetrikus és pozitív definit, valamint a szimmetrikus mátrixok determinánsának és inverzének kiszámításához is. Sablon:Hunl