Elsőderivált-próba

1. Sablon:Humatek Az első derivált teszt egy módszer, amelyet a kalkulusban használnak a függvények lokális extrémumainak (maximum és minimum pontok) meghatározására. Íme, hogyan működik:

Az első derivált teszt lépései:

1. Származtatás: Számítsd ki a függvény $f(x)$ első deriváltját $f^{\prime }(x)$.

2. Kritikus pontok: Határozd meg a kritikus pontokat azzal, hogy a deriváltat nullára állítod: $$f^{\prime }(x)=0$$ Ezen kívül vedd figyelembe azokat a pontokat is, ahol $f^{\prime }(x)$ nem definiált.

3. Vizsgálati intervallumok: Használj kritikus pontokat a számvonal intervallumokba való felosztásához. Válassz egy vizsgálati pontot minden intervallumban.

4. A derivált előjelének meghatározása: Értékeld ki a deriváltat $f^{\prime }(x)$ minden vizsgálati pontban: - Ha $f^{\prime }(x)>0$ egy intervallumban, akkor $f(x)$ növekvő azon az intervallumban. - Ha $f^{\prime }(x)<0$ egy intervallumban, akkor $f(x)$ csökkenő azon az intervallumban.

5. Extrémumok azonosítása: - Ha $f^{\prime }(x)$ pozitívból negatívba vált egy kritikus pontnál, akkor $f(x)$ lokális maximumot tartalmaz ott. - Ha $f^{\prime }(x)$ negatívból pozitívba vált egy kritikus pontnál, akkor $f(x)$ lokális minimumot tartalmaz ott. - Ha $f^{\prime }(x)$ nem változtat előjelet, a kritikus pont nem maximum és nem minimum.

Példa: Vegyük a következő függvényt: $f(x)=x^3-3x^2+4$.

1. Származtatás: $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$$

2. Kritikus pontok: $$3x^2-6x=0⟹3x(x-2)=0⟹x=0\text{ vagy }x=2$$

3. Vizsgálati intervallumok: A kritikus pontok a számvonalat a következő intervallumokra osztják: $(-\mathrm{\infty },0)$, $(0,2)$, és $(2,\mathrm{\infty })$.

4. Válassz vizsgálati pontokat: - Az $(-\mathrm{\infty },0)$ intervallumban: Válassz $x=-1$ → $f^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2-6(-1)=3+6=9>0$ (növekvő) - A $(0,2)$ intervallumban: Válassz $x=1$ → $f^{\prime }(1)=3(1{)}^2-6(1)=3-6=-3<0$ (csökkenő) - A $(2,\mathrm{\infty })$ intervallumban: Válassz $x=3$ → $f^{\prime }(3)=3(3{)}^2-6(3)=27-18=9>0$ (növekvő)

5. Extrémumok azonosítása: - $x=0$ esetén: $f^{\prime }$ pozitívról negatívra vált → lokális maximum. - $x=2$ esetén: $f^{\prime }$ negatívból pozitívra vált → lokális minimum.

Sablon:Hunl