Valószínűségi függvény

1. Sablon:Label A valószínűségi függvény egy olyan függvény, amely egy diszkrét valószínűségi változó különböző lehetséges kimeneteihez rendel valószínűségi értékeket. A valószínűségi függvény leírja, hogy egy véletlen jelenség különböző kimeneteleinek milyen valószínűsége van.

A valószínűségi függvény csak diszkrét valószínűségi változókra alkalmazható, míg a folytonos valószínűségi változók esetében a sűrűségfüggvényt használják.

Definíció

Egy diszkrét valószínűségi változó $X$ valószínűségi függvénye, $P(X=x)$, megadja annak a valószínűségét, hogy a $X$ változó az $x$ értéket veszi fel.

Tulajdonságok

1. Nemnegatív értékek: Minden kimenethez tartozó valószínűség nemnegatív: $$P(X=x)\ge 0\text{minden }x\text{ esetén.}$$

2. Összegük egy: A valószínűségi változó összes lehetséges kimeneteleinek valószínűségeinek összege 1: $$\sum _{x}P(X=x)=1.$$

Példa

Tegyük fel, hogy egy szabályos kockával dobunk, és $X$ a dobott számot jelöli. A kockának 6 oldala van, és mindegyik kimenetel valószínűsége egyenlő. Ekkor a valószínűségi függvény a következő:

$$P(X=x)=\frac{1}{6},x=1,2,3,4,5,6$$

Ez azt jelenti, hogy a kockadobás során mindegyik szám előfordulásának valószínűsége $\frac{1}{6}$.

Felhasználás

- A valószínűségi függvény segítségével kiszámíthatjuk különböző események valószínűségét. - Például, ha azt szeretnénk tudni, hogy egy kockadobás során páros számot kapunk, akkor az esemény $X=2,4,6$, és az ehhez tartozó valószínűség:

$$P(X\text{ páros})=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$$

Összefoglalás

A valószínűségi függvény a diszkrét valószínűségi változó különböző kimeneteleinek valószínűségeit írja le. Ez az eszköz segít a különböző események valószínűségeinek meghatározásában és a valószínűségszámítás problémáinak megoldásában. Sablon:Hunl