Szórásnégyzet becslése

1. Sablon:Label A variancia becslése a statisztikai elemzés egyik alapvető lépése, amely segít megérteni, hogy az adatok mennyire szóródnak az átlag körül. A variancia (σ²) a populáció szórásnégyzeteként is értelmezhető, és a minta alapján becsülhetjük meg. Kétféle varianciát különböztetünk meg: a populáció varianciáját és a mintavarianciát.

1. Populáció varianciájának (σ²) kiszámítása

Ha a teljes populáció varianciáját szeretnénk kiszámítani, a következő képletet használjuk:

$${\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2$$

ahol: - ${\sigma }^2$ a populáció varianciája, - $N$ a populáció elemszáma, - $x_i$ az egyes megfigyelési értékek, - $\mu$ a populáció átlag.

2. Minta varianciájának (s²) becslése

A minta varianciáját a következő képlettel számítjuk:

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$$

ahol: - $s^2$ a minta varianciája, - $n$ a minta elemszáma, - $x_i$ az egyes megfigyelési értékek, - $\overline{x}$ a minta átlag.

Lépések a minta varianciájának becsléséhez

1. Mintaátlag kiszámítása: $$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

2. Eltérések négyzete: Az egyes adatpontok és az átlag közötti eltérések négyzetének kiszámítása.

3. Összegzés: Az eltérések négyzetének összegzése.

4. Osztás: Az összegzett négyzetes eltérések számának $n-1$-gyel való osztása.

Példa

Tegyük fel, hogy van egy minta a következő értékekkel: $2,4,6,8,10$.

1. Átlag: $$\overline{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6$$

2. Eltérések négyzete: - $(2-6{)}^2=16$ - $(4-6{)}^2=4$ - $(6-6{)}^2=0$ - $(8-6{)}^2=4$ - $(10-6{)}^2=16$

3. Összegzés: $$\sum (x_i-\overline{x}{)}^2=16+4+0+4+16=40$$

4. Variancia: $$s^2=\frac{40}{5-1}=\frac{40}{4}=10$$

Értelmezés

A kiszámított variancia (10) azt mutatja, hogy az adatok mennyire szóródnak az átlag (6) körül. A variancia nagyobb értéke azt jelzi, hogy az adatok szélesebb tartományban helyezkednek el, míg a kisebb variancia a közelibb értékeket jelzi.

Ha további kérdéseid vannak a variancia becslésével kapcsolatban, szívesen segítek! Sablon:Hunl