Paraméterek kiszámítása

1. Sablon:Label A paraméterek kiszámítása statisztikai elemzés során azt jelenti, hogy a populáció bizonyos jellemzőit egy adott mintából számítjuk ki. A leggyakrabban használt paraméterek a várható érték (átlag), a szórás, az arány, illetve ezek becslései. Itt a leggyakoribb paraméterek kiszámítását ismertetem:

1. Várható érték (Átlag) - A várható érték a minta központi tendenciáját méri, azaz az adatpontok "átlagos" értékét. - Kiszámítása egy minta ($x_1,x_2,\dots ,x_n$) esetén: $$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$ ahol $\overline{x}$ a mintaátlag, és $n$ a minta elemszáma.

2. Szórás és Variancia - A variancia méri, hogy az egyes adatok mennyire térnek el az átlagtól. - A minta varianciáját ($s^2$) így számítjuk: $$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$$ ahol $x_i$ az egyes mintaelemek, és $\overline{x}$ a mintaátlag.

- A szórás a variancia négyzetgyöke, amely az adatok átlagtól való átlagos eltérését mutatja. $$s=\sqrt{s^2}$$

3. Arány - Az arány a populáció egy bizonyos tulajdonságával rendelkező egyedek hányadát méri. - Ha $k$ az adott tulajdonsággal rendelkező elemek száma egy $n$ elemszámú mintában, akkor az arány becslése: $$\hat{p}=\frac{k}{n}$$

4. Lineáris Regressziós Egyenlet Paraméterei A lineáris regresszió során egyenes egyenlettel ($y=a+bx$) közelítjük a kapcsolatot a változók között, ahol $a$ a tengelymetszet és $b$ a meredekség.

- A meredekség ($b$) kiszámítása: $$b=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}$$

- A tengelymetszet ($a$) kiszámítása: $$a=\overline{y}-b\overline{x}$$ ahol $\overline{x}$ és $\overline{y}$ a $x$ és $y$ mintaátlagai.

5. Maximum likelihood becslés (ML) A maximum likelihood módszer célja a populáció paraméterének olyan becslése, amely maximalizálja a megfigyelt adatminták valószínűségét. Ennek elvégzésekor megkeressük azt a paramétert, amelynél a valószínűségi függvény maximális értéket vesz fel. Például:

- Egy binomiális eloszlás paramétere ($p$) becsülhető a sikeres kimenetelek arányával: $$\hat{p}=\frac{k}{n}$$

6. Bayes-i becslés A Bayes-i becslés a valószínűségszámítás Bayes-tételén alapul, amely figyelembe veszi a korábbi információkat (prior) és a mintából származó új információkat. A becslés így a prior és a minta alapján frissített valószínűség eloszlást ad.

Példa Ha egy mintából az átlagot szeretnénk kiszámítani, tegyük fel, hogy az adataink: $2,4,6,8,10$.

- A mintaátlag ($\overline{x}$): $$\overline{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6$$

- A variancia ($s^2$): $$s^2=\frac{1}{5-1}[(2-6{)}^2+(4-6{)}^2+(6-6{)}^2+(8-6{)}^2+(10-6{)}^2]=10$$

- A szórás ($s$): $$s=\sqrt{10}\approx 3,16$$

A paraméterek kiszámítása segít abban, hogy a mintából következtetéseket vonjunk le a teljes populációra vonatkozóan, és a statisztikai elemzés során használjuk ezeket a becsléseket különféle modellekben és tesztekben. Sablon:Hunl