Nevezetes eloszlások

1. Sablon:Humatek A nevezetes eloszlások olyan valószínűségi eloszlások, amelyek gyakran előfordulnak a valószínűségszámításban és a statisztikában, és széles körben használják őket különféle alkalmazásokban. Néhány legismertebb nevezetes eloszlás:

Diszkrét eloszlások

1. Binomiális eloszlás:

• Egy $n$ számú független kísérletből álló sorozat sikeres eseményeinek száma, ahol minden kísérlet sikere $p$ valószínűséggel következik be. Paraméterei: $n$ (kísérletek száma), $p$ (siker valószínűsége).
• Példa: Egy érmét $n$ alkalommal feldobva, hányszor kapunk fejet.

2. Poisson-eloszlás:

• Egy esemény bekövetkezéseinek száma egy adott időintervallumban vagy térben, ha az események függetlenek, és átlagos bekövetkezési gyakoriságuk $\lambda$. Paramétere: $\lambda$ (az események átlagos száma).
• Példa: Egy adott útszakaszon átlagosan hány autóbaleset történik egy héten.

3. Geometriai eloszlás:

• Annak a kísérletnek a valószínűségi eloszlása, amely során az első sikeres eseményig történő próbálkozások számát határozzuk meg. Paramétere: $p$ (siker valószínűsége).
• Példa: Hány alkalommal kell feldobni egy érmét, amíg először fejet kapunk.

Folytonos eloszlások

1. Normális eloszlás (Gauss-eloszlás):

• Szimmetrikus, haranggörbe alakú eloszlás, amelyet a várható érték ($\mu$) és a szórás ($\sigma$) jellemez. Sok természeti jelenség normális eloszlást követ.
• Példa: Magasságok eloszlása egy adott népességben.

2. Exponenciális eloszlás:

• Az események közötti időtartam eloszlása, ha az események bekövetkezése független és állandó átlagos gyakorisággal történik. Paramétere: $\lambda$ (az események átlagos bekövetkezési aránya).
• Példa: Egy telefonhívás közötti várakozási idő.

3. Egyenletes eloszlás (kontinuus uniform eloszlás):

• Minden érték egy adott intervallumban egyenlő valószínűséggel fordul elő. Paraméterei: alsó és felső határ ($a$, $b$).
• Példa: Egy szabályos dobókocka dobásának kimenetele egyenletes eloszlást követ.

4. Gamma-eloszlás:

• Az események bekövetkezéseinek összegének eloszlása, ahol az események bekövetkezése független és állandó arányban történik. Paraméterei: $\alpha$ (alakparaméter) és $\beta$ (skála paraméter).
• Példa: Egy gyártási folyamat során az $\alpha$ darab hiba bekövetkezéséig eltelt idő.

Speciális eloszlások

1. Khi-négyzet eloszlás:

• A négyzetes normális eloszlású véletlen változók összegének eloszlása. Főként hipotézisvizsgálatokhoz használják.
• Példa: Tesztelni, hogy egy adott mintában a megfigyelt frekvenciák eltérnek-e a várt frekvenciáktól.

2. t-eloszlás:

• Ha a mintaátlagot és a populáció várható értékét hasonlítjuk össze, és a minta kicsi, akkor a Student-féle t-eloszlást használjuk. Paramétere: szabadságfok ($\nu$).
• Példa: Egy minta átlagának összehasonlítása egy ismert értékkel, ha a minta szórása ismeretlen.

3. F-eloszlás:

• Két minta szórásnégyzetének arányát teszteljük, hogy kiderítsük, van-e szignifikáns különbség közöttük. Paraméterei: két szabadságfok ($d_1$, $d_2$).
• Példa: Varianciaanalízis (ANOVA) használata két csoport szórásának összehasonlítására.

Ezek a nevezetes eloszlások alapvető szerepet játszanak a valószínűségszámításban és a statisztikai modellezésben, mivel lehetővé teszik a valószínűségi jelenségek modellezését és elemzését. Sablon:Hunl

Táblázat

Eloszlás	Paraméterek	Definíció	Alkalmazás
Binomiális eloszlás	n, p	$P(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$	Egy esemény ( n ) független ismétlés során hányszor következik be.
Geometriai eloszlás	p	$P(k)=(1-p{)}^{k-1}p$ (k=0,1,…)	Az első sikerig tartó kísérletek száma.
Hipergeometrikus eloszlás	N, K, n	$P(k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}$	Visszatevés nélküli mintavétel: hányszor következik be egy esemény.
Poisson-eloszlás	$\lambda$	$P(k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$	Egységnyi idő alatt megfigyelt események száma.
standard normális eloszlás	-	$f(x)=\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}$	Fizikai mennyiségek, pl. populáció egyedeinek méretei, tömegei.
Normális eloszlás	$\mu ,{\sigma }^2$	$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$	Fizikai mennyiségek, pl. populáció egyedeinek méretei, tömegei.
Egyenletes eloszlás	$a,b$	$f(x)=\frac{1}{b-a}$ ha $a\le x\le b$	Egyenlő esély minden érték bekövetkezésére egy intervallumban.
Exponenciális eloszlás	$\lambda$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha $x\ge 0$	Várakozási idők, élettartam. Kapcsolódik a Poisson-eloszláshoz időintervallumok formájában.

Megjegyzések:

• Binomiális eloszlás: Visszatevéses mintavétel esetén használatos. ( n ) független ismétlés során egy esemény hányszor következik be.
• Hipergeometrikus eloszlás: Visszatevés nélküli mintavételhez.
• Poisson-eloszlás: Tipikusan az egységnyi idő alatt bekövetkező ritka események számát modellezi.
• Normális eloszlás: Nagyon sok folyamat természetes eloszlása, például populációs méretek ingadozásai, gyártási folyamatban fellépő hibák.

Ez a táblázat alapvetően összefoglalja a folytonos és diszkrét eloszlásokat, amelyeket gyakran használnak különböző alkalmazásokban.