Marginális eloszlás

1. Sablon:Label A marginális eloszlás a valószínűségszámításban és statisztikában a többváltozós eloszlások elemzésének fontos része. Ez a fogalom azt jelenti, hogy egy adott valószínűségi változó eloszlását vizsgáljuk, figyelmen kívül hagyva a többi változót.

Definíció

Ha van egy $(X,Y)$ kétváltozós eloszlásunk, akkor a marginális eloszlás a következőképpen van definiálva:

1. Marginális eloszlás $X$: $$f_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{X,Y}(x,y)dy$$ Ez a kifejezés a $Y$ változó feletti integrál, amely megadja $X$ eloszlását.

2. Marginális eloszlás $Y$: $$f_Y(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{X,Y}(x,y)dx$$ Ez a kifejezés a $X$ változó feletti integrál, amely megadja $Y$ eloszlását.

Példa

Tegyük fel, hogy egy közös eloszlásunk van, amely a következőképpen néz ki:

$$f_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4},& \text{ha }0<x<2\text{ és }0<y<2\\ 0,& \text{máskülönben}\end{array}$$

1. Marginális eloszlás $X$: $$f_X(x)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}_{X,Y}(x,y)dy=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{4}dy=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}(0<x<2)$$

2. Marginális eloszlás $Y$: $$f_Y(y)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}_{X,Y}(x,y)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{4}dx=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}(0<y<2)$$

Tulajdonságok

- A marginális eloszlások információt nyújtanak az egyes változók eloszlásáról, függetlenül a többi változótól. - A marginális eloszlások segíthetnek a bonyolultabb többváltozós eloszlások egyszerűsítésében és a változók közötti kapcsolatok megértésében.

Marginális várható érték

A marginális eloszlás segítségével kiszámíthatók a marginális várható értékek is. Ha például a marginális eloszlás $f_X(x)$ ismert, akkor a várható érték a következőképpen számolható:

$$E[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_X(x)dx$$

Összegzés

A marginális eloszlás segít megérteni az egyes változók eloszlását a többváltozós adatokban, lehetővé téve a statisztikai elemzések és modellek egyszerűsítését. Sablon:Hunl