Sűrűségfüggvény tulajdonságai

1. Sablon:Label A sűrűségfüggvény (vagy valószínűségi sűrűségfüggvény, angolul *probability density function*, PDF) egy valószínűségi változó eloszlását leíró matematikai függvény, amely megmutatja, hogy a valószínűségi változó milyen valószínűséggel vesz fel bizonyos értékeket. A sűrűségfüggvény különösen fontos a folytonos valószínűségi változók esetében.

Főbb tulajdonságai

1. Nem negatív: $$f(x)\ge 0\text{minden }x\text{-re}$$ A sűrűségfüggvény soha nem lehet negatív, mivel a valószínűség sem lehet negatív.

2. Integrálja egység: $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1$$ Az összes lehetséges érték (a teljes valószínűségi tér) integrálja egyenlő 1-gyel. Ez azt jelenti, hogy a valószínűségi változó biztosan felvesz egy értéket a tartományában.

3. Valószínűségek kiszámítása: A sűrűségfüggvény segítségével a valószínűségek a következőképpen számíthatók ki: $$P(a<X<b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$$ Ez azt jelenti, hogy a $X$ valószínűségi változó $a$ és $b$ közötti valószínűsége az $f(x)$ sűrűségfüggvény integrálja az $a$ és $b$ közötti tartományban.

4. Jellemzők (várható érték és szórás): - A sűrűségfüggvényből meghatározhatók a statisztikai jellemzők, például a várható érték ($\mu$) és a szórás ($\sigma$): $$\mu =E[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$$ $${\sigma }^2=Var(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{2}f(x)dx$$

5. Folytonosság: A sűrűségfüggvények általában folytonosak, de vannak olyan esetek is, amikor a sűrűségfüggvény diszkretizált formában van jelen, például a kevert eloszlások esetében.

6. Diszkrét eloszlások kapcsolata: Ha egy valószínűségi változó diszkrét, akkor a sűrűségfüggvény nem használható. Helyette a valószínűségi tömegfüggvény (PMF) a megfelelő. A diszkrét valószínűségi változóknál a valószínűségeket az értékekhez rendelhetjük.

Példa Tegyük fel, hogy egy valószínűségi változó $X$ normál eloszlású, amelynek sűrűségfüggvénye a következőképpen alakul: $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$ ahol $\mu$ a várható érték, $\sigma$ pedig a szórás. Ebből a sűrűségfüggvényből kiszámíthatók a valószínűségek, a várható érték és a szórás, amelyek a normál eloszlás jellemzői.

Összegzés A sűrűségfüggvény egy alapvető eszköz a valószínűségszámításban és a statisztikában, amely lehetővé teszi a folytonos valószínűségi változók eloszlásának leírását és a valószínűségek számítását. Az alapvető tulajdonságok segítenek megérteni és alkalmazni a sűrűségfüggvényeket különböző statisztikai elemzések során. Sablon:Hunl