Aranymetszés forrásának megtekintése

{{wikipedia}}
{{hunfn}}
#{{matematika|lang=hu}}  Olyan [[arányosság]], ami a természetben és művészetben is gyakran megjelenik, természetes egyensúlyt teremtve a szimmetria és az aszimmetria között.
A definícióból kiszámolható, hogy a nagyobb rész (''a'') hányszorosa a kisebb résznek (''b''), tehát megkapható az a <math>\Phi</math> szám, amelyre <math> a = \Phi \cdot b</math>, másképpen: <math> \Phi = \frac{a}{b} </math> teljesül.

A definíció szerint:
:<math> \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}</math>
A jobb oldali tört számlálóját és nevezőjét is <math>b</math>-vel elosztva:
:<math> \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{a}{b}}</math>
Ebbe <math> \Phi = \frac{a}{b} </math>-t behelyettesítve kapjuk, hogy
:<math> \Phi = \frac{\Phi+1}{\Phi}</math>
<math>\Phi</math>-vel szorozva, majd 0-ra rendezve:
:<math> \Phi^2 - \Phi - 1 =0\,</math>     ;   vagyis <math> \Phi^2\ </math>  eggyel nagyobb,  <math> 1 / \Phi </math>  pedig eggyel kisebb, mint &nbsp;<math> \Phi </math>.
Ezt a [[másodfokú egyenlet]]et megoldhatjuk a megoldóképlettel:
:<math> \Phi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2\cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}</math>
Az egyenlet negatív gyöke (≈ -&nbsp;0,618) a feladat jellege miatt nem megoldása a problémának, így:
:<math> \Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1, \ 618 \ 033 \ 988 \ 749 \ 894 \ 848 \ 20 ... </math>

<math>\Phi</math> [[irracionális szám]], tehát nem írható fel két egész szám hányadosaként, ami a <math>\sqrt{5}</math> irracionalitásából is látható. [[Algebrai szám]], sőt, [[algebrai egész szám|algebrai egész]], hiszen megoldása a fenti polinomegyenletnek.

{{hunsyn}}
* [[aranyarány]]
{{-etim-}}
{{összeetim|arany|metszés|magyar}}, a német [[Goldschnitt]] szó tükörfordítása
{{-ford-}}
{{trans-top}}
*{{en}}: {{t|en|golden ratio}}, {{t|en|golden section}}
*{{ar}}: {{t|ar|الرقم الذهبي}}
*{{be}}: {{t|bg|златно сечение|tr=zlatno cečenie}}
*{{cs}}: {{t|cs|zlatý řez|m}}
*{{da}}: {{t|da|gyldne snit|n}}, {{t|da|guddommelige forhold|n}}
*{{eo}}: {{t|eo|ora proporcio}}
*{{et}}: {{t|et|kuldlõige}}
*{{fi}}: {{t+|fi|kultainen leikkaus}}
*{{fr}}: {{t+|fr|nombre d’or|m}}
*{{el}}: {{t|el|χρυσή τομή|f}}
*{{ka}}: {{t|ka|ოქროს კვეთა}}
*{{he}}: {{t|he|יחס הזהב}}
*{{nl}}: {{t|nl|gulden snede}}
*{{is}}: {{t|is|gullinsnið}}
*{{ja}}: {{t|ja|黄金比|tr=おうごんひ ōgon hi}}
*{{zh}}: {{t|cmn|黃金分割}}, {{t|cmn|黄金分割|tr=huángjīn fēngē}}
*{{ko}}: {{t+|ko|황금비}}
{{trans-mid}}
*{{pl}}: {{t|pl|złota proporcja|f}}, {{t|pl|złoty podział|m}}
*{{lv}}: {{t|lv|zelta griezums}}
*{{lt}}: {{t|lt|aukso pjūvi}}
*{{lb}}: {{t|lb|Gëllene Schnëtt}}
*{{mk}}: {{t|mk|златен пресек|tr=zlatɛn prɛsɛk}}
*{{de}}: {{t|de|Goldschnitt|m}}, {{t|de|Goldene Schnitt|m}}
*{{it}}: {{t+|it|sezione aurea|f}}
*{{ru}}: {{t|ru|золотое сечение|n|tr=zolotóje sečénie}}
*{{fa}}: {{t|fa|نسبت طلایی}}
*{{pt}}: {{t|pt|proporção áurea}}
*{{ro}}: {{t|ro|secțiunea de aur}}
*{{es}}: {{t|es|número áureo|m}}
*{{sv}}: {{t+|sv|gyllene snittet}}
*{{sk}}: {{t|sk|zlatý rez}}
*{{sl}}: {{t+|sl|zlati rez}}
*{{th}}: {{t|th|อัตราส่วนทองคำ|tr=àtdraa sùan tong kam}}
*{{tr}}: {{t+|tr|altın oran}}
*{{uk}}: {{t|uk|золотий перетин|tr=zolotyï peretyn}}
*{{vi}}: {{t|vi|tỷ lệ vàng}}
{{trans-bottom}}
{{-rago-}}
{{hu-fn-ek|aranymetszé|s|et}}{{hu-birt-etek|aranymetszés||ei}}