Анализ forrásának megtekintése

{{сущ ru m ina 1a
|основа=ана́лиз
|слоги={{по-слогам|а|.|на́|лиз}}
}}
{{rusFn}}
{{ru-noun+|ана́лиз}}
#{{label|ru|matematika}} [[függvénytan]]
# [[elemzés]], [[analízis]]
#: {{uxi|ru| анализ [[кровь|крови]] | vérvizsgálat}}
{{Related terms}}
* {{l|ru|анализа́тор|g=m}}
* {{l|ru|анали́тик|g=m}}
* {{l|ru|анали́тика|g=f}}
----
'''Математический анализ – основы и применение'''

\'''Математический анализ''' – это раздел математики, изучающий пределы, функции, производные, интегралы и их приложения. Он является фундаментом для физики, инженерии, экономики и других наук.

—

'''🔹 Основные понятия математического анализа'''

'''1. Пределы и непрерывность''' - Предел последовательности: <math display="block">\lim_{n \to \infty} a_n = A</math> Это число, к которому стремится последовательность при увеличении <math display="inline">n</math>.

- Предел функции: <math display="block">\lim_{x \to a} f(x) = L</math> Если <math display="inline">f(x)</math> приближается к <math display="inline">L</math> при <math display="inline">x \to a</math>, то это её предел.

- Непрерывность функции: функция <math display="inline">f(x)</math> непрерывна в точке <math display="inline">a</math>, если: <math display="block">\lim_{x \to a} f(x) = f(a)</math>

—

'''2. Производная – скорость изменения функции''' Производная функции <math display="inline">f(x)</math> – это её мгновенная скорость изменения: <math display="block">f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}</math> Примеры: - <math display="inline">(x^n)' = n x^{n-1}</math> - <math display="inline">(\sin x)' = \cos x</math> - <math display="inline">(\ln x)' = \frac{1}{x}</math>

Применение: 📌 '''Физика''' – скорость и ускорение. 📌 '''Экономика''' – предельная прибыль.

—

'''3. Интеграл – сумма бесконечно малых величин''' Неопределённый интеграл – это обратная операция к производной: <math display="block">\int f(x)dx = F(x) + C</math> Примеры: - <math display="inline">\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C</math> - <math display="inline">\int e^x dx = e^x + C</math>

Определённый интеграл вычисляет площадь под графиком функции: <math display="block">\int_{a}^{b} f(x)dx</math>

Применение: 📌 '''Физика''' – работа силы, вычисление массы тел. 📌 '''Статистика''' – площадь под кривой вероятности.

—

'''4. Ряды и их сходимость''' - Числовые ряды: <math display="block">S_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> - Геометрическая прогрессия: <math display="block">\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}, \quad |r| < 1</math>

- Разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена: <math display="block">e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>

📌 '''Применение''': ⚡ Апроксимация функций в физике, программировании, обработке сигналов.

—

'''5. Дифференциальные уравнения''' Они описывают процессы в природе: <math display="block">y' + p(x)y = q(x)</math> 📌 '''Применение''': - '''Физика''' – движение частиц. - '''Биология''' – модели роста популяций.

—

'''🔹 Применение математического анализа''' ✔ '''Инженерия''' – расчёты конструкций. ✔ '''Финансы''' – модели роста инвестиций. ✔ '''Компьютерная графика''' – расчёт траекторий. ✔ '''Наука о данных''' – анализ больших данных.



{{orosz500}}
{{rusl}}